Bilgi Paylaştıkça Çoğalır

Otoregresif hareketli ortalamalar modeli

İstatistik’te George Box ve M.Jenkins’e ithafen Box Jenkins modelleri olarak da bilinen otoregresif hareketli ortalamalar modelleri, zaman serisi verilerinde uygulanır.

Xt şeklinde bir zaman serisi verisi (datası) verildiğinde, ARMA modeli, serinin gelecek dönemlerdeki değerlerini anlamak ve hatta öngörmek için kullanılır. Model iki kısımdan oluşur. Bunlardan birisi otoregresif kısım (AR), diğeri ise hareketli ortalamalar kısmıdır. Model, genellikle p otoregresif kısmın derecesi, q ise hareketli ortalama kısmının derecesi olmak üzere ARMA(p,q) modeli şeklinde gösterilir.

Otoregresif Model

AR(p) ifadesi p. dereceden otoregresif bir modeli tanımlar. AR(p) modeli şöyle gösterilir:

, modelin parametrelerini; c, sabit terimi; εt ise hata terimini simgeler. Pek çok yazar tarafından basitleştirme maksadıyla sabit terim ihmal edilir. Modelin durağan olması için parametreler üzerinde kısıtlamaya gidilmelidir. Örneğin |φ1| > 1 durumunun geçerli olduğu bir AR(1) modeli durağan değildir.

Örnek: AR(1) Süreci

AR(1) süreci:

şeklinde tanımlanır. εt, beyaz gürültülü ve 0 ortalamaya sahip σ2 varyanslı bir süreçtir. Eğer, | φ | < 1 sağlanırsa süreç kovaryans durağandır. Eğer φ = 1 sağlanıyorsa süreç birim kökφ = 1 durumu aynı zamanda rassal yürüyüşXt için beklenen değeri hesaplamak mümkün değildir. içermektedir ve durağan olduğu söylenemez. olarakta bilinen özel bir durumdur.

AR Parametrelerinin Hesaplanması

denklemi ile verilen bir AR(p) modeli φi parametrelerine dayanır. Bu parametreler Yule-Walker denklemleri ile hesaplanır:

m = 0…p olup sonuçta p+1 tane denklem ortaya çıkar. γm, X’in otokorelasyon fonksiyonu olup σε girdi gürültü sürecinin standart hatasıdır. δm ise Kronecker Delta Fonksiyonu’nu gösterir.

Denklemin son kısmı yalnızca m=0 olma durumunda sıfırdan farklı olacağından, denklem m>0 koşulunu sağlayan bir matris şeklinde ifade edilerek çözülür.

m=0 için bütün φler elde edildiğinde.

ifadesi ortaya çıkar ki bu değerini bulmamızı sağlar.

 

Hareketli Ortalamalar Modeli

MA(q) ifadesi, q. dereceden bir hareketli ortalamalar modelini ifade eder

θ1, …, θq modelin parametreleridir εt, εt-1,… modelin hata terimleridir.

Otoregresif Hareketli Ortalamalar Modeli

Bu model, AR(p) and MA(q) modellerinin bir birleşimidir,

şeklinde gösterilir.

Modelin Tahmini

Model sadece AR(p) ile kurulursa Yule-Walker denklemleri çözüm için yeterli olacaktır ARMA(p,q) şeklinde bir model kurulduğunda ise önce p ve q değerlerinin kaç olacağına karar verilir, yâni kaç adet gecikmeli değişken kullanılacağı önem kazanır. Genelde p ve q’nun küçük seçilmesi tavsiye edilir. p ve q sayıları seçildikten sonra ise model en küçük kareler yöntemi ile tahmin edilebilir.


Leave a Comment

Loading...